Sternfiguren und Gestaltbildung

Die moderne Physik ist auf der Suche nach der Weltformel. Sie möchte das, „was die Welt im Innersten zusammenhält“ in einer Formel greifen. Der Harmoniker ist etwas bescheidener. Er legt sich auch nicht auf ein Einziges fest. Er sucht, sich dem gemeinsamen Band anzunähern, das „jede Figur, jede Zahlenverbindung, das ganze System der Harmonie und den Umlauf der Gestirne“ miteinander verbindet, wie es Platon (ca. 428–348 v.  Chr.) ausdrückte. Vier Aspekte haben wir hier. Mit den Figuren sind dabei die geometrischen gemeint, mit dem System der Harmonie die musikalischen Intervalle und ihre Ordnung. Wir können auch den von Pythagoras (ca. 580–500 v. Chr.) geprägten Begriff der Sphärenharmonie – in einem weit gefassten Sinne – verwenden. 

Sphärenharmonie ist nicht tönende Musik, aber sie hat mit Musik zu tun, genauer: mit deren Aufbau. Sphärenharmonie hat auch mit dem Kosmischen zu tun, aber beschränkt sich nicht auf das unerreichbare Weltall. Sie hat auch mit Mathematik zu tun, mit deren beiden Seiten; zum einen der abstrakten, also den Zahlen und dem Berechnen, zum anderen mit der konkreteren, anschaulicheren Seite, der Geometrie. Die vier weiter oben genannten Aspekte Zahl, Geometrie, Grundlagen der Musik und Astronomie wurden im Mittelalter zusammen als sogenanntes „Quadrivium“ an den Universitäten gelehrt. Auch für den heutigen Harmoniker sind die vier Bereiche gleichberechtigt, auch wenn der ein oder andere von ihnen einen besonderen Schwerpunkt setzt. 

Archetypen der Schöpfung

Für einen der größten Astronomen und Harmoniker, Johannes Kepler (1571–1630), den Entdecker der fundamentalen Bewegungsgesetze der Planeten, spielte nicht die Astronomie, sondern die Geometrie die Hauptrolle. Die Geometrie, so Kepler, lieferte „Gott die Urbilder (oder Archetypen) für die Schöpfung.“ Diese geistigen Urbilder geben den konkreten Erscheinungen in der materiellen Welt die Form, besser: das Gerüst der Gestalt. Den Ausdruck „konkrete Erscheinungen in der materiellen Welt“ müssen wir im weitesten Sinn auffassen. Sehen wir uns nun drei Bespiele für Formen in der Natur, ebenfalls im weitesten Sinne, an (Abb. 1).

Planetarische Bewegungsfiguren, kurz Planetenbilder, bilden sich, indem ihre in Beziehung gesetzten Bewegungen über Zeiträume von Jahren bis Jahrtausenden (je nach beteiligten Planeten, die äußeren laufen sehr langsam) aufgetragen werden. Dies geschieht in der Ebene der Ekliptik, das schmale Band, in dem die Planeten um die Sonne laufen. Wir haben in den Planetenbildern also Raum-und-Zeit-Abbildungen. Wasserklangbilder entstehen, indem Wasser auf eine schwingungsfähige Membran gebracht und diese mit einem Klang oder einer Sinusschwingung angeregt wird. Was wir sehen, ist eine Momentaufnahme in einem Schwingungsvorgang. Durch Licht wird dieser sichtbar gemacht. Nur bei der Blüte haben wir tatsächlich eine feste „materielle Erscheinung“.

Was ist nun das Gemeinsame der drei Bilder – Wasserklangbild, Blume, Planetenfigur – aus Abb. 1? Zunächst stellen wir fest, dass die drei Bilder nach der gleichen Zahl geordnet sind. Doch ist dies eine recht grobe Aussage, die die feineren Merkmale der Strukturen nicht berücksichtigt.

Johannes Kepler sprach, wie erwähnt in seiner Welt-Harmonik von geome-
trischen Urbildern oder Archetypen, die verschiedenen Bereichen der Schöpfung zugrunde liegen. Dies waren für ihn vor allem Polygone (= Eckfiguren), also Dreieck, Viereck, Fünfeck, Sechseck und ein paar andere. Diese Vorstellung konnte ich in den Untersuchungen, die zum Buch „Der Sternenorganismus“ geführt haben, erweitern. Die hauptsächlichen geometrischen Urbilder sind die Sternfiguren. Und diese umfassen auch die Polygone. Denn jeder gezeichnete Stern trägt im Inneren die entsprechende Eckfigur. Zum Beispiel zeichnet das Pentagramm im Inneren ein Fünfeck, das Hexagramm ein Sechseck usw.

Verborgene Harmonie

Doch wo sind in den Gestalten der Abb. 1 die zugrunde liegenden Sternfiguren? Im Wasserklangbild sieht man u.a. einen von der Mitte ausgehenden, strahlenförmigen sechszähligen Stern, aber sonst? „Verborgene Harmonie ist mächtiger als offenbare“, so sagte der griechische Philosoph Heraklit vor gut zweieinhalb tausend Jahren. Und auch hier wirken die Sternfiguren im Verborgenen. Um dies verstehen zu können, müssen wir uns mit den Gesetzmäßigkeiten der Sternfiguren vertraut machen. Dabei geht es hier stets um die regelmäßigen Figuren.

Von jeder Zahl ab der Fünf können wir eine Sternfigur zeichnen (Drei und Vier können Eckfiguren bilden, aber noch keine Sterne). In Abb. 2 sehen wir die Figuren bis zum Zwölfstern. Alle Sterne sind um einen gleich großen Inkreis gezeichnet, sodass sie sich miteinander vergleichen lassen. Dabei stellen wir fest, dass sich die Sterne gerader und ungerader Zahlen prinzipiell unterschiedlich verhalten. Wie lässt sich dieser Unterschied in Worte fassen?

Eine Gesetzmäßigkeit aller regelmäßigen Sternfiguren ist also, dass sie einen Inkreis haben, welcher die Mittelpunkte des innen liegenden Polygons tangiert. Sie haben zudem einen Umkreis (in Abb. 2 nicht eingezeichnet). Er berührt jeweils alle Spitzen. Jeder Stern hat ein für ihn charakteristisches Verhältnis von Umkreis und Inkreis. Wie groß ist dieses, bezogen auf die Radien, beim Sechsstern?

Fünf- und Sechsstern zeichnen innen ihr Polygon. Es gibt also insgesamt je zwei Figuren. Beim Sieben- und Achtstern sehen wir, dass zwischen dem großen Stern und dem Polygon noch eine weitere Figur durch die Linien des Sterns entsteht. Zusammen also je drei Einzelfiguren. Beim Achtstern setzt sich diese mittlere Figur aus zwei Quadraten zusammen, man spricht von einem Mehrfachpolygon. Neun- und Zehnstern haben zwischen Außen und Innen bereits zwei zusätzliche Figuren, insgesamt also jeweils vier Einzelfiguren. Der große Zehnstern besteht aus zwei Pentagrammen. Er ist damit der erste Mehrfachstern. In Abb. 3 sehen wir exemplarisch die drei möglichen Figuren aus dem großen Stern herausgezogen. Alle vier Figuren weisen wiederum einen gleich großen Inkreis auf (nicht eingezeichnet).

Diese Vorarbeiten reichen, um die allgemeine Gesetzmäßigkeit aufzuspüren, die alle Sternfiguren – also die Figuren aller Zahlen und die Einzelfiguren einer jeden Zahl – miteinander verbindet. Zunächst betrachten wir ein gleichseitiges Dreieck mit Um- und Inkreis (Abb. 4). Das Verhältnis ihrer Radien beträgt 2:1, was sich mit dem bloßen Auge relativ gut abschätzen lässt. Dieses Verhältnis (Proportion) entspricht musikalisch der Oktave. 1 Wenn wir ein weiteres Dreieck umschreiben, verdoppelt sich das Verhältnis (2·2=4). Der Radius des äußeren Kreises ist also viermal so groß wie der des grauen innen. Man kann nun von zwei Oktaven oder einer Doppeloktave sprechen. Nehmen wir jetzt ein Pentagramm und umschreiben dessen Umkreis noch ein Pentagon, ergibt sich exakt das gleiche Verhältnis. 2

Goldener Schnitt

Dieser perfekte geometrische Zusammenklang von Drei und Fünf ist doch erstaunlich! Und er entwickelt sich über den Goldenen Schnitt. Bekanntlich zeigen die Schnittpunkte der Seiten des Fünfsterns den Goldenen Schnitt. Doch auch die Radien von Fünf- und Sechsstern (gezeichnet um den gleichen Inkreis) weisen das Verhältnis des Goldenen Schnitts auf. Dies wurde im raum&zeit newsletter Nr. 238 „Sternfiguren in Geometrie, Natur und Kosmos“ im Detail beschrieben. Hier folgt nun die Fortsetzung (Abb. 5).

Die nächste ungerade Zahl ist die Sieben. Um den großen Siebenstern zeichnen wir die mittlere Sternfigur (die der große Stern in seinem Inneren selbst hervorbringt), dann dessen Umkreis, dann ein Siebeneck und schließlich noch einen Umkreis. Die gestrichelten Dreiecke zeigen, dass die Gesamtheit aller drei möglichen Siebener-Einzelfiguren mit der Konstruktion aus drei Dreiecken konsoniert. Wieder ist es mathematisch exakt. Musikalisch haben wir jetzt drei Oktaven. Der äußerste Kreis ist also achtmal (2·2·2=8) größer als der gemeinsame graue Inkreis. Die vier Einzelfiguren der Zahl Neun ergeben auf diese Weise vier Oktaven (16), bei der Zahl Elf sind es fünf Oktaven (32) usw. 

Auch die Sternfiguren der geraden Zahlen sind in diese umfassende Ordnung eingebunden. Dabei wird es etwas komplizierter. Doch zuvor einige einfache Berechnungen.

Was in Abbildung 5 geometrisch dargestellt ist, entspricht arithmetisch (also mit Zahlen berechnet) einer Multiplikation der einzelnen Figuren. Genauer: Die jeweiligen Verhältnisse von Umkreis zu Inkreis werden multipliziert. Wenn man den Inkreisradius zur Vereinfachung stets gleich 1 setzt, bleibt die Multiplikation der Umkreisradien. 

Weiterhin betrachten wir jetzt die Flächen. Diese ergeben sich ganz einfach durch eine Quadrierung. Beim Dreieck beträgt der Radius des Umkreises, wie wir sahen, 2:1. Das ‘zu eins‘ (:1) kann man bei der Berechnung weglassen. So ergibt sich für die Umkreisfläche 2·2=4. Bei zwei umeinander gezeichneten Dreiecken ergibt sich somit 4·4=16. Das heißt also, der äußerste Kreis in Abb. 4, links hat die 16-fache Fläche des grauen Inkreises bzw. Ausgangskreises. Im nächsten Schritt, bei der Fünf, beträgt das Verhältnis von Umkreis- zu Inkreisfläche 10,472…, beim Fünfeck 1,527… . Multipliziert man die beiden Werte, erhält man wiederum exakt 16. Bei der Sieben ergibt sich auf diese Weise 64, bei der Neun 256 etc. Musikalisch entspricht das einer Reihe von  Doppeloktaven (4-16-64-256 …). 

Aus Abb. 2 entnehmen wir, dass die geradzahligen Sterne stets kleiner sind als ihre ungeradzahligen Partner. Daher können sie nicht in die Reihe passen, deren Beginn (3, 5, 7 …) in Abb. 5 dargestellt ist. Überraschenderweise passen die Werte aber doch genau dazwischen, wenn die sich ergebende Fläche mit der Zahl der Figur multipliziert wird. Das hört sich komplizierter an, als es ist. Beispielsweise ergibt sich bei der Sechs durch Multiplikation der Fläche des Sternumkreises und der des Sechseckumkreises 4·4/3=5,333… Nimmt man diesen Wert mit 6 mal, erhält man 32. Mathematisch gesprochen 2 hoch 5. Und der niedrigere Wert 16 ist 2 hoch 4, der höhere, 64, ist 2 hoch 6. Für die ersten 10 ungeraden und geraden Zahlen ergeben sich so die Werte der Tabelle 1.

Auch geometrisch lässt sich interpretieren, dass diese Multiplikation mit der Zahl der Figur nur bei geraden Zahlen vorgenommen wird. Bei den geradzahligen Eckfiguren kann man die direkt gegenüberliegenden Eckpunkte miteinander verbinden. So erhält man einen Linienstern. Diese Figur hat keine Fläche, da sie eben nur aus durch den Mittelpunkt der Eckfigur gehenden Linien besteht. Sie ist gewissermaßen reine Zahl – und mit dieser multiplizieren wir das jeweils ermittelte Produkt der Flächen. Bei ungeraden Eckfiguren hingegen gibt es keine solchen Liniensterne, da keine direkt gegenüberliegenden Punkte vorhanden sind.

Bezogen auf die Flächen ergibt sich somit eine Reihe der Potenzen von Zwei, in die auch die Sterne der geraden Zahlen einbezogen sind. Musikalisch entspricht das wiederum der Reihe von fortlaufenden Oktaven. Geometrisch lässt sich das darstellen, indem Quadrate mit Umkreisen verschachtelt werden, denn zwei Quadrate entsprechen einem Dreieck (siehe Abb. 7). Daraus folgt, dass die Proportion zwischen Um- und Inkreis beim Quadrat 2:1 beträgt. 

Organisches Gewebe

Das ist der Beweis, dass alle Sternfiguren in ein großes Gewebe eingebunden sind. Man kann von einem Organismus sprechen, weil jeder Bestandteil dazugehört und den ihm zugehörigen Platz hat. Geometrisch sind Quadrate und Dreiecke die strukturgebenden Elemente beim Aufbau des Sternenorganismus. Dieser Organismus reicht sogar bis in die Unendlichkeit, was für andere Organismen nicht gilt. (Vielleicht noch für das Weltall insgesamt, von dem schon Plato gesagt hat, dass es ein lebendiges Wesen ist.) So ist es wohl berechtigt, dass an dieser Stelle eine Jubelfanfare erklingt:

Wir haben in den Sternfiguren die Oktavstruktur der Musik als allgemeinste und wunderbar einfache Gesetzmäßigkeit gefunden, welche die Sterne aller Zahlen mit allen ihren Einzelfiguren umfasst.

Nun lässt sich vielleicht nachvollziehen, dass Rudolf Steiner laut eigener Aussage in der Geometrie das Glück kennengelernt hat.

Nach der Aufdeckung der wunderbaren Ordnung in der Gesamtheit der Sternfiguren kommen wir auf die eingangs gezeigten drei Bilder zurück (Abb. 8). 

Die übergeordnete Struktur – wir könnten auch von Architektur sprechen – wird in allen drei Bildern von ineinander liegenden Sechssternen mit Um- und Inkreisen vorgegeben. Man kann es auch so ausdrücken, dass die Geometrie der einfachen regelmäßigen Figuren die Proportionen der Gestalt bestimmt. Bei Planetenfigur und Blüte reichen dazu Sternfiguren aus, beim Wasserklangbild tritt noch das Sechseck hinzu. Und diese gestaltgebenden Figuren oder Archetypen sind unsichtbar. Gestaltbildung ist demnach etwas, was aus dem Unsichtbaren gesteuert wird.

Beim Sechseck beträgt das Verhältnis der Flächen von Um- und Inkreis übrigens 4:3, entspricht also musikalisch einer Quarte. Da wir jetzt eine Oktave und eine Quarte haben, haben wir automatisch auch die Quinte, denn Quarte und Quinte machen zusammen eine Oktave aus (4:3 · 3:2 = 2:1). Eine Oktave, die um eine Quarte vermindert wird, ergibt demnach eine Quinte (2:1 / (4/3) = 3:2). Die Terzen lassen sich mit Fünf- und Zehneck konstruieren. Damit kann man sämtliche musikalischen Intervalle der Tonleiter mit den Proportionen von lediglich vier Eckfiguren konstruieren. 4

Und eine solche Strukturierung durch Sternfiguren tritt natürlich nicht nur in den drei gezeigten, nach der Zahl Sechs geordneten Bildern auf. In sehr vielen Planetenfiguren, Blüten, Wasserklangbildern und auch anderen Formen in der Natur finden wir, dass Verschachtelungen von Stern- und/oder Eckfiguren die große Struktur (selbstverständlich nicht jedes Detail) bestimmen. Die nächsten Abbildungen zeigen dafür weitere Beispiele. Wir beginnen mit der Zahl Fünf (Abb. 9).

Die Blüte der Wilden Rose ist ein Paradebeispiel dafür, dass zutrifft, was Heraklit zur verborgenen Harmonie sagte. Ihre Macht in Form des unsichtbaren Pentagramms ist es hier, die das Verhältnis vom inneren Bereich mit den Staubgefäßen zur Gesamtblüte bestimmt. Sowohl bei der Planetenfigur als auch beim Wasserklangbild tritt außen zum Pentagramm noch ein Quadrat hinzu. Die Gesamtform ist also in beiden Gestaltbildungen von der Fläche her noch um eine Oktave größer als die Hauptform, die sich im mittleren Bereich befindet. Und damit kommen wir zur Oktave, das heißt zum Viereck, zur Zahl Vier (Abb. 10).

Zufall scheidet aus

In dem nach der Zahl Vier geordneten Wasserklangbild sehen wir, wie die Proportionen der verschiedenen Elemente auf annähernd perfekte Weise von der geometrischen Oktavstruktur bestimmt werden. Bild 9b zeigt die Verhältnisse der kleinen Halbachsen der elliptischen Bahnen des Planetensystems (nicht die Bahnen selbst). Die blauen Kreise und Quadrate entsprechen von außen: Pluto (der bis 2006 als Planet galt, und von der Ordnung her m. E. weiterhin dazu gehört) – Uranus – Saturn – Mars – Merkur. Fünf von neun Planeten sind mit einer mittleren Abweichung von weniger als 0,2 Prozent in diese Struktur eingebunden. Mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung lässt sich zeigen, dass die Zufallswahrscheinlichkeit dafür kleiner als  1:100 000 ist. 5

Abschließend wollen wir uns drei von der Zahl Zehn, oder genauer: von Zehnsternen bestimmte Strukturen anschauen (Abb. 11). 6 Beim Wasserklangbild treten dabei alle vier möglichen Figuren auf (vergl. Abb. 3). Die Gesamtproportion stimmt damit mit dem entsprechenden Wert in der Tabelle 1 der alle Sterne verbindenden Gesetzmäßigkeit überein.

Gott (oder auch die schöpferische Kraft im Universum) geometrisiert fortwährend, so sagte Platon bereits vor mehr als zweitausend Jahren. Wer will daran, nachdem Wasserklangbilder, Planetenfiguren und viele andere geometrische Formbildungen in der Natur entdeckt wurden, noch zweifeln? Die Zusammengehörigkeit der vier Bereiche des Quadriviums (Zahl, Geometrie, Musik, Kosmos) hat sich auf neue Weise bestätigt. Dazu kommt als fünftes Element das Wasser, der Inbegriff des Lebens, und die Formkräfte, die in ihm von Forschern wie Alexander Lauterwasser sichtbar gemacht wurden. Wasser, eins der großen Mysterien dieser Welt, hat die Fähigkeit, Schwingung in Gestalt zu verwandeln. Die Sternfiguren mit ihren archetypischen Formen und ihren Proportionen liefern dazu die Architektur. Laut Rudolf Steiner spielten die Gestaltbildungsprozesse im Medium Wasser in den Urzeiten der Erde eine entscheidende Rolle: „So bildeten sich durch die aus dem Weltenraum hineinströmende Musik die mannigfaltigsten Gestalten und Figuren, und die Stoffe, die im Wasser gelöst waren, die selber wässrig waren, sie gehorchten der Weltenmusik und ordneten sich nach der Weltenmusik.“ 7 Und wohl nicht nur in den Urzeiten der Erde, denn die Schöpfung ist ja nicht abgeschlossen, sie geschieht in jedem Moment aufs Neue.

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