Die Collatz-Vermutung ist ein einfach verstehbares mathematisches Problem, das ganze Mathematiker-Generationen sich den Kopf hat zerbrechen lassen. Unsere Autorin Karla Seiffert behauptet nun nicht, der Lösung auf der Spur zu sein. Aber anhand der Collatz-Zahlen zeigt sie uns auf wundersame Weise, wie Gott, der bekanntlich auch Mathematiker ist, seine Spuren vom Kleinsten bis in die Unendlichkeit gewebt hat.
Der deutsche Mathematiker Lothar Collatz (1910 1990) postulierte 1937, dass jede natürliche Zahl n>0 nach den Formeln n/2 für gerade Zahlen und 3n+1 für ungerade Zahlen Reihen hervorbringt, die ausnahmslos enden mit 4/2/1. Hier ein Beispiel für die gerade Zahl 26 und die ungerade Zahl 23 mit ihrer jeweiligen Berechnung: 26/13/40/20/10/5/16/8/4/2/1 (26:2=13; 13×3+1=40; 40:2=20; 20:2=10; 10:2=5; 5×3+1=16; 16:2=8; 8:2 =4; 4:2=2; 2:2=1) Nach dem gleichen Formalismus für die Zahl 23 ergibt sich: 23/70/35/106/53/160/80/40/20/10/5/16/8/4/2/1.
Regelloses Auf und Ab
Die Schrittfolge, um letztendlich zu 4/2/1 zu gelangen, ist dabei unterschiedlich lang, zum Teil erheblich sogar. Bei 26 erscheint bereits nach 10 Schritten die 1, während es bei 23 nur wenige mehr sind 15 Schritte. Die ungerade 57 benötigt 32 Berechnungsschritte. Dieses Verhalten der Zahlen ist nicht im Voraus berechenbar und gibt dadurch Rätsel auf. Sie werden deshalb bezeichnet als Hagelschlagzahlen (genauer wäre allerdings Hagelkornzahlen). Dieser Ausdruck geht auf den Mathematiker Brian Hayes zurück, der das Auf und Ab der Zahlen mit dem Weg eines Hagelkorns durch eine Sturmwolke verglich. Abbildung 1 zeigt ein Beispiel für das scheinbar zufällige Auf und Ab. Doch findet sich dieses Muster überall in der Statistik der Einwohnerzahl von Ländern, beim Kapitalmarktwert von Firmen und Konzernen ebenso wie bei physikalischen Konstanten und der Fibonacci-Reihe 0/1/1/2/3/5/8/13/21/34/55 …. (die bekanntlich eng mit dem Goldenen Schnitt 1,618… verbunden ist). Fast 300 Trilliarden Zahlen sind bis heute untersucht worden und sie alle sind-Collatz-Zahlen, laufen also in der Folge 4/2/1 aus. Siehe die „Die Collatz-Vermutung“ in raum&zeit Nr. 235. Wie im eben erwähnten Beitrag lautet die Frage nun: „Gibt es im unendlichen Zahlenraum eine Zahl, die sich diesem ‚mathematischen Schwerefeld‘ entzieht und unendlich wird oder alternativ eine in sich geschlossene Schleife (wie 4/2/1) bildet (deren Zahlen natürlich ebenfalls der Collatz-Vermutung entzogen wären)?“ Diese Frage konnte bis heute nicht beantwortet werden. Das Problem stellt sich als nicht entscheidbar heraus. Die Gründe dafür müssen jedoch in den Collatzschen Berechnungsmethoden zu finden sein, in den Formeln selbst. Dies näher zu untersuchen war Anlass, mich auch mit der Collatz-Vermutung zu beschäftigen. Vielleicht lässt sich nun etwas Licht in das Rätsel bringen.
